说明

1. Catalan(i) 表示卡特兰数的第 i 项。

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题目大意

　　有 n 个左括号和 n 个右括号，它们一共可以组成 Catalan(n) 个合法括号字符串，把这些字符串组建成 Trie 树，求这棵树的二分图最大匹配。

分析

　　设 Node(L, R) 表示 Trie 树的一个节点，这个节点含有 L 个左括号和 R 个右括号。

　　虽然说是求二分图最大匹配，不过这道题却不能用求最大匹配的的方法求（超时 + 爆栈），注意到这棵 Trie 是棵二叉树且根节点到每个叶子节点的距离都是一样的，都为 2*n，考虑第 2*i - 1 层和 2*i 层的边，首先 2*i 层的可选边数肯定大于等于 2*i - 1 层的可选边数，这是肯定的，因为越往下分支越多。而最优解在第 2*i - 1 层和 2*i 层的匹配情况在无非这三种之一：

1. 全选第 2*i - 1 层的边。
2. 全选第 2*i 层的边。
3. 混合选。

　　设策略1在每一层所选的边数为：A₁，A₂，……A_2n。(A_2i == 0)

　　设策略2在每一层所选的边数为：B₁，B₂，……B_2n。(B_2i-1 == 0)

　　设策略3在每一层所选的边数为：C₁，C₂，……C_2n。

　　首先，策略1肯定不是最优解，因为对于策略1的每一非0项 A_2i-1 都有 B_2i >= A_2i-1。同理，策略3也不是，因为选择第 2*i - 1 层的一条边必然要取消选择第 2*i 层的对应边，策略3顶多和策略2一样优。

　　因此匹配只考虑策略2即可。

代码如下

1 #include 
      
         2 using namespace std;  3    4 #define INIT() std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);  5 #define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)  6 #define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)  7 #define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)  8 #define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)  9 #define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i) 10 #define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i) 11 #define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i) 12   13 #define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  " 14 #define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl 15   16 #define LOWBIT(x) ((x)&(-x)) 17   18 #define ALL(x) x.begin(),x.end() 19 #define INS(x) inserter(x,x.begin()) 20   21 #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a)) 22 #define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a)) 23 #define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a)) 24  25 #define MP make_pair 26 #define PB push_back 27 #define ft first 28 #define sd second 29   30 template
       
         31 istream &operator>>(istream &in, pair
        
          &p) { 32     in >> p.first >> p.second; 33     return in; 34 } 35   36 template
         
           37 istream &operator>>(istream &in, vector
          
            &v) { 38     for (auto &x: v) 39         in >> x; 40     return in; 41 } 42   43 template
           
             44 ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair
            
              &p) { 45 out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "\n"; 46 return out; 47 } 48 49 inline int gc(){ 50 static const int BUF = 1e7; 51 static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg; 52 53 if(bg == ed) fread(bg = buf, 1, BUF, stdin); 54 return *bg++; 55 } 56 57 inline int ri(){ 58 int x = 0, f = 1, c = gc(); 59 for(; c<48||c>57; f = c=='-'?-1:f, c=gc()); 60 for(; c>47&&c<58; x = x*10 + c - 48, c=gc()); 61 return x*f; 62 } 63 64 typedef long long LL; 65 typedef unsigned long long uLL; 66 typedef pair< double, double > PDD; 67 typedef pair< int, int > PII; 68 typedef pair< string, int > PSI; 69 typedef set< int > SI; 70 typedef vector< int > VI; 71 typedef map< int, int > MII; 72 typedef pair< LL, LL > PLL; 73 typedef vector< LL > VL; 74 typedef vector< VL > VVL; 75 const double EPS = 1e-10; 76 const LL inf = 0x7fffffff; 77 const LL infLL = 0x7fffffffffffffffLL; 78 const LL mod = 1e9 + 7; 79 const int maxN = 1e3 + 7; 80 const LL ONE = 1; 81 const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa; 82 const LL oddBits = 0x5555555555555555; 83 84 int n; 85 // dp[l][r]表示以当前节点（已经选了 l 个左括号和 r 个右括号）为根的子树的最大匹配种数。 86 LL dp[maxN][maxN]; 87 88 int main(){ 89 INIT(); 90 cin >> n; 91 dp[n][n] = 0; 92 // 枚举 l + r 93 rFor(k, 2 * n - 1, 0) { 94 int tmp = min(n, k); 95 // tmp 为 l 的上限，(k + 1) / 2 为 l 的下限 96 // 下限的选取保证了 l >= r 97 rFor(l, tmp, (k + 1) / 2) { 98 int r = k - l; 99 //assert(l >= r);100 if(l < n) dp[l][r] += dp[l + 1][r];101 dp[l][r] += dp[l][r + 1];102 dp[l][r] += (l + r) % 2; // 只要匹配偶数层即可 103 dp[l][r] %= mod;104 }105 } 106 107 cout << dp[0][0] << endl; 108 return 0;109 }